풀꽃을 위한 피보나치 수열

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우주의 탄생과 진화/파동에 대하여

풀꽃을 위한 피보나치 수열

연미소
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풀꽃은 피보나치 수열(fibonacci sequence)로 피어난다 

놀라운 은총(Amazing Grace)

 

 

 

제1

수열이란 무엇인가

 

수학에서 다루는 수열은 나열된 숫자들의 패턴에서 규칙성을 찾아내는 훈련이다.

수열(數列)은 들의 나이 이루는 패턴이다.

 

여기 "1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ……."로 수들이 나열되어 있다고 해보자.

이 수열의 패턴은, ‘첫째항이 1이고, 아무거나 항(term) 하나를 선택해 놓고 거기에 하나만 더하면 그 다음 항이 되는 규칙’이다(등차수열).

 

"1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ……"로 수들이 나열되어 있다면, 이 배열들의 패턴은, ‘첫째항이 1이고, 어떤 항에 2가 곱해지면 그 다음 항이 되는 것’이다(등비수열).

 

그러나 쉽게 규칙성이 발견되지 않는 복잡한 수열에선

이웃 항들끼리 빼보기도 하고(계차수열), 묶어보기도 하며(군집수열),

이웃 항끼리 도대체 어떤 연관성을 지니고 있는지(이웃한 항끼리의 점화식)에 대해 알아내기 위해 골머리를 좀 싸매야 한다^^.

그러나 나는 당신께 어려운 수학공부로 혹사시킬 생각은 추호도 없으니, 안심하시길. 

 

이 그림은 도미노 효과(domino effect)를 보여주고 있다. 

수열은 두 개의 조건만 있으면 정의된다. 첫째항과 점화식(이웃항과의 관계식).

마치 손가락으로 첫째 도미노만 톡 건드리면, 이웃한 모든 도미노들이 줄줄이 넘어지듯이, 수열도 첫째항점화식만 주어지면 정의할 수 있는 것이다. 이것을 수열의 귀납적 정의라 한다. 

공부 안 시킨다고 해 놓고, 결국 공부시키는군^^.

 

제2

피보나치 수열

 

피보나치 수열(fibonacci sequence)이라는 게 있다.

註) 피보나치(Fibonacci, 1175-1250)는 이 수열을 세상에 알린 이탈리아 수학자의 이름이다.

 

다음과 같이 수들이 나열되어 있다고 치자.

1, 1, 2, 3, 5,8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

 

우리는 여기서 규칙성만 찾아내면 될 뿐, 이 숫자들의 순서를 외울 필요는 전혀 없다.

이 수열(의 나)에서 우리가 찾아낼 수 있는 규칙성은,

그냥 아무데서나 두 개의 이웃한 항을 선택해 더하면다음 항이 된다는 것이다.

 

마치 하나로와 하나랑의 만남처럼, 처음엔 일(1) 두 개로 시작한다. 

하나로와 하나랑이 만나면, 이제 피보나치 수열이 자연적으로 쫘악  펼쳐진다.

다시 말해, 피보나치 수열은 맨 처음에 하나(1)와 하나(1)만 먼저 써놓으면 자동으로 완성된다.

 

첫째항 일(1)과 둘째항 일(1)을 더하면, 셋째항인 이(1+1=2)가 된다.

2와 3을 더하면 그 다음 항인 5가 된다. 34와 55를 더하면 89가 된다…….

그 어디서든 이웃한 두 항을 더하면 그 다음의 숫자가 되는 것이다.

 

간혹 피보나치 수열의 첫째항을 0으로 놓고 둘째항을 1로 놓기도 하는데,

이때에도 항이 하나씩 뒤로 밀려날 뿐, 등장하는 숫자들은 정해져 있다.

 

제3

풀꽃은 피보나치로 피어난다

 

풀꽃들은 피보나치 수열로 피어난다.

꽃들은, 네 잎 클로버처럼 돌연변이가 아닌 한,

그들의 꽃잎을 저 피보나치의 수열에 나타내는 숫자만을 보여준다.

 

통꽃인 나팔꽃이나 튤립은 꽃잎이 1장이다.

클로버의 이파리는 세(3)장이며, 백합이나 붓꽃도 꽃잎이 3장이다.

채송화, 동백, 들장미, 자두, 살구, 복숭아, 패랭이꽃 등은 다섯(5) 장의 꽃잎을 가지고 있다.

코스모스, 모란, 수련, 양지꽃은 여덟(8)장의 꽃잎을 가진다.

금잔화는 열세 개(13장)이고, 치커리는 스물한 개(21장), 데이지는 34장의 꽃잎을 가지고 있다.

쑥부쟁이는 종류에 따라 55장 또는 89장의 꽃잎을 가지고 있다.

이들은 모두 피보나치 수열에 등장하는 숫자들이다.

 

제4

피보나치 수열의 다양한 표현

 

1, 1, 2, 3, 5,8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …  

피보나치 수열은 해바라기의 씨앗 배열, 솔방울의 씨앗배열, 파인애플의 패턴, 아름다운 앵무조개를 비롯한 바다 생물의 껍질에서도 발견된다.

 

 

그림 / 해바라기의 씨앗 배열

해바라기의 씨앗 배열은, 원의 중심으로부터 나선형으로 휘어져 나가는 패턴이 보인다. 뻗어나간 나선의 수는 해바라기의 크기에 따라 다르지만 대개 시계 방향으로 21개와 반시계 방향으로 34개이다.

이보다 더 큰 것은 시계방향의 나선 수 34개와 반시계방향의 나선 수 55개일 수도 있다.

좀 더 큰 것은 시계방향으로 뻗어나간 나선 수 55개, 반시계방향으로 뻗어나간 나선 수 89개,

이러한 나선의 개수들은 피보나치의 수열에서 서로 이웃하고 있는 항이다.

 

 

 

그림 / 파인애플이나 선인장, 솔방울 등에 패턴화 되어있는 소용돌이 나선들도, 시계방향으로 뻗어나간 나선수와 반시계 방향으로 뻗어나간 나선 수가, 예컨대 8과 13 등으로, 피보나치 수열의 이웃한 두 항이다.

 

그림 / 앵무조개의 황금 나선  

 

 

앵무조개의 부드러운 나선형 곡선은 이렇게 그려진다.

오른쪽 그림은 한 변의 길이가 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13인 정사각형을 이어 붙인 다음 각각의 정사각형에서 사분원(원을 네 개로 균등하게 조각 낸 다음 선택한 하나의 원)을 그려 만든 황금 나선이다.

 

피보나치 수열에 관한 나의 글을 사랑해 주신 많은 분들께 감사를 올리며, 그 보답으로 다음의 멋진 동영상을 당신께 선사한다.

 

황금나선형을 그리는 피보나치 수열, 그리고 그 수열로 표현된 자연의 아름다운 모습들 

 

제5

피보나치 잎차례

 

식물의 잎차례(phyllotaxis)도 피보나치 수열을 지키며 피어난다. 

이것은 광합성에 필요한 햇빛을 최대한으로 받아들이기 위한 적응방식이다.  

다시 말해, 잎은 줄기를 따라 올라가면서 나선형으로 약간씩 비껴나서 빛을 최대한 많이 받으려는 것이다.

 

전체 식물의 90%가 피보나치 수열의 잎차례를 따르고 있다.

이처럼 잎차례가 피보나치 수열을 따르는 이유는 공생에 있다.

식물의 잎들이 피보나치 수열을 따르는 것은,

잎이 바로 위의 잎에 가리지 않고 햇빛을 최대한 받을 수 있는 방법이며,

나중에 나온 잎이 먼저 나온 잎과 상생을 도모하기 위한 최선의 선택이기 때문이다.  

 

 

 

그림 / 잎차례는 줄기에서 잎이 나와 배열하는 방식이다.

잎차례는 t/n으로 표시하는데, 이것은 t번 회전하는 동안 잎이 n개 나오는 비율이다.

식물의 맨 아래에서부터 시계반대방향으로 잎이 난 순서대로 번호를 붙였을 때, 1번 잎 위에서 다른 잎이 오기까지 8개의 잎이 3바퀴를 돌면 3/8 잎차례이다.

포플러, 장미, 배, 버드나무가 3/8의 잎차례를 가지고 있다.

참나무, 벚나무는 2/5(두바퀴 도는데 다섯 개의 잎)이다.

아몬드는 5/13(다섯번 회전하는 동안 13장의 이파리)이다.

이들 분자나 분모가 모두 피보나치 수열에 등장하는 숫자들이며, 이 숫자들의 비율은 황금비율을 이룬다고 알려져 있다.

 

 

제6

왜 하필 이것인가

 

피보나치 수열이 어떻게 디엔에이(DNA) 코드 속에 들어가게 되었으며, 왜 하필 그 수열이 자연의 질서인가?

 

 

생명의 진화는 땜장이와 비슷하다.

일단 태초의 생명체 하나가 시작된 이후, 생명은 끊임없이 적자생존의 자연 속에서 진화해 왔다.

진화는 지금도 계속되는 현재진행형의 땜질작업이다.

 

숙련된 땜장이는 새것을 만들기 위해 매번 처음부터 작업을 시작하지 않는다.

대신 쓰다 남은 조각들 중 적절한 것을 골라 작업에 이용한다.

물고기를 만드는데 사용했던 설계가 적절하면, 이것을 보관했다가 사람을 만드는 기초에 다시 사용하는 것이다.

새로운 전체설계도를 다시 짜는 것보다는, 꼬리와 아가미만 제거해 버리는 편이 훨씬 쉽다.

이것이 바로 배(胚)의 유사성이 생기는 이유이다.

 

피보나치 수열은 1과 1부터 시작해서 계속 더하여가는 자연의 땜질장이이다.

 

 

그림 / 배의 유사성

물고기, 도룡뇽, 닭, 토끼, 소, 사람의 초기발생 단계의 배 모양은 놀랍도록 닮았다. 발생학 전문가들조차도 새와 사람의 초기 단계 배를 구별하지 못할 정도로 닮은 것이다.

 

제7 

당신을 위한 피보나치 수열

 

자, 다시 한 번 묻자.

왜 하필 피보나치 수열이 자연의 질서인가?

실상 피보나치 수열만이 아니라, 모든 수열은 자연의 질서이다.

심지어 수열을 이루지 않는 것조차도 자연의 질서를 내재하고 있다.

 

 

그래도 왜 하필 이 방식인가를 묻는 당신을 위하여, 연미소 식의 답은 이렇다.

 

그것은 하나로와 하나랑 때문이다.

하나랑이 없으면 하나로도 없다.

그리하여 피보나치 수열이 존재하는 이유는

소중한 당신이 거기 있기 때문이다.

 

당신이 있기에 내가 존재한다.

이 “하나와 하나”에서 수열은 시작되어, 두 개의 쌍이 더해져 사다리의 다음 계단을 놓는다.

그 계단은 물론 무한을 향하고 있으며, 무한한 황금달걀 아니 황금비율을 낳는다.

 

당신과 나의 어울렁 더울렁 살림살이,

나와 당신으로 시작되는 무한대의 살림법,

그 패턴이 바로 피보나치 수열인 것이다.

 

연미소 (yeonmiso)

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