[대칭성 01] 대칭이란 무엇인가

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[대칭성 01] 대칭이란 무엇인가

연미소
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대칭이란 무엇인가

 

 

01 서

 

 

자연의 패턴으로서의 대칭성은 서로 바라보며 짝을 이루어 대칭을 이루는 성질이다.

 

사람의 몸이나 나비는 좌우대칭을 이룬다.

 

 

 

꽃들은 꽃잎의 수에 따라 다양한 대칭을 가진다.

 

 

 

 

수직선상의 마이너스 일(-1)과 플러스 일(+1)은 영(0)에 대해 대칭이다.

 

 

평면상에 그려지는 다음과 같은 함수는 각각 와이(y)축과 원점에 대해 대칭이다.

 

좌표평면에서 함수 y=x2은 와이(y)축에 대해 대칭이다.

투입(input)하는 엑스(x)값의 부호를 바꾸어 마이너스 엑스(-x)로 입력해도, 산출(output)되는 함숫값(y)은 변함없기 때문이다.

따라서 이 함수는 y축에 대해 대칭이다.

 

이 함수는 원점에 대해 대칭이다.

 

 

 

 

 

태극의 음과 양은 대칭을 이루며, 생명계의 암컷과 수컷도 대칭을 이룬다.

 

자연의 구조는 무수한 차원의 다양한 대칭으로 짜여 있다.

 

 

2010 겨울, 초호리와 금강리 사이 

 

 

02 도형의 대칭

 

여기 탁자 위에 세변의 길이가 같은 정삼각형이 놓여 있다고 하자.

우리의 눈 맑은 아이에게 “이 삼각형을 맘대로 가지고 놀되, 본래 처음에 놓인 그 모습이 되도록 해보렴.”하고 지침을 주면, 눈 맑은 아이는 삼각형을 회전해 보거나 뒤집어 보면서 “어? 이렇게 하면 애초의 모습과 똑같네? 그렇죠, 엄마?”라는 말을 여러 번 반복하면서 신기해 할 것이다.

 

엄마와 함께 삼각형과 놀았던 아이는 지적 성숙이 이루어진 훗날, 비록 우리에게 똑같이 인식되는 모습일지언정, 존재하는 것들의 모습은 각각 다른 자기만의 고유한 과정(process)을 거쳐 왔음을 알 것이다.

 

주) 정삼각형은 3개의 회전대칭(120, 240, 360)과 3개의 선대칭(중선에 대해 뒤집는 대칭)이 있다.

 

정사각형은 4개의 회전대칭(90도, 180도, 270도, 360도)과 4개의 선대칭(좌우대칭, 상하대칭, 두 개의 대각선 대칭)이 있다.

 

원은 회전(rotation)에 대해 대칭이 있다. 사각형과 달리 90°의 정수배로 회전할 때뿐만 아니라, 7°·53°·0.1°등 임의의 어떤 각도로 회전시켜도 그 모양에 변화가 없기 때문이다. 게다가 원은 좌우반사(reflection)에 대해서도 대칭이다. 지름을 축으로 뒤집거나 거울 면에 반사시켜도 완전히 똑같기 때문이다.

 

구(球)는 점대칭, 선대칭, 면대칭, 회전대칭 등 더 많은 대칭구조를 가지고 있다.

 

 

03 대칭의 정의

 

이렇게 어떤 사물을 그의 자리를 옮기거나 회전시키거나 거울 면에 반사시키는 등의 변환(조작)을 가한 후에도, 원래의 모습과 완전히 똑같은 모습을 가지고 있으면, 우리는 그 조작에 대칭이 있다고 말한다.

 

즉, 하나의 대칭(a symmetry)은 모양·위치 등의 “구조”를 “보존”하는 하나의 “변환(transformation)”이다.

 

 

04 대칭군(symmetry group)

 

 

변환된 사물의 모양과 위치가 변환되기 전의 구조와 같은 것을 다 모아 놓은 집합을 대칭군(symmetry group)이라 한다.

 

대칭군에는 원래 자신인 ‘항등원’도 포함되어 있다.

아무것도 하지 않으면 아무것도 변하지 않는 것이 당연하지만 이것도 대칭의 하나이며, 이러한 변환 같지 않은 변환을 ‘항등변환’이라 한다.

 

어떤 대상을 불변으로 보존하는 변환 전체가 군(群)을 만든다. 대칭조작을 정량적으로 다루는 학문이 군론(group theory)이다.

 

 

주) 군(group)은 프랑스의 젊은 수학자 갈루아(Galois, 1811~1832)에 의하여 탄생한 개념으로서, 이는 현대수학에서는 가장 중요한 개념 중의 하나이다.

군(群)은 5차 이상의 고차방정식이 왜 ‘근의 공식’을 가지지 않는지를 증명하려는 과정에서 탄생했다. 아벨이 갈루아에 앞서 “왜 오차 이상의 방정식에는 해를 구하는 공식이 존재하지 않는가”를 증명했다. 아벨이 증명한 것의 내용은, 비유컨대 5층 이상의 층은 분명히 존재하지만 올라갈 길(제곱근의 사다리)이 없기 때문이다.

아벨 이후, 혈기 왕성했던 젊은이 갈루아의 짧은 논문에 의하면, 5차 방정식의 해를 근의 공식으로 구할 수 없는 이유는 대칭이 없기 때문이다.

Galois, Évariste (1811-1832)

대칭성에 근거한 군의 개념은 순수논리인 수학에서 벗어나서 에너지나 운동량 보존 법칙들도 설명하며, 소립자를 비롯한 만물의 이론에 핵심적인 역할을 하게 되었다.

파리의 어느 거리에서 한 여자를 사이에 두고 두 남자가 권총을 든 결투에서, 그만 상대방 남자가 쏜 총알을 맞고 20대 초반의 나이로 생을 마감한 불운한 천재 갈루아는, 그의 짧은 생애에도 불구하고 군(群)의 개막을 알리는 짧은 논문을 남김으로써 수학사에 영원히 자신의 이름을 남겼다.

 

 

 

 

 

연미소(yeonmiso)

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