[8] Joint probability distribution 결합 확률 분포

댓글수2 다음블로그 이동

잡동사니/(구)공부자료

[8] Joint probability distribution 결합 확률 분포

댓글수2

※ 자료 출처 : Mathematical statistics with applications (K.M. Ramachandran, C. P. Tsokos 저)


1. 결합 확률 분포


두 개 이상의 확률 변수에 관계된 확률 분포를 우리는 결합 확률 분포라고 부른다.


가령 30세 성인들의 키와 몸무게를 조사한다고 해보자.

그리고 키를 확률 변수 H라고 하고 몸무게를 확률 변수 W라고 해보자.


(경우1) 임의의 30세 성인을 선택했을 때, 

키가 160cm에서 165cm 사이일 확률은 얼마인가는 다음과 같이 표현할 수 있다.



(경우2) 임의의 30세 성인을 선택했을 때,

키가 160cm~165cm 사이이면서 동시에 몸무게가 60~70kg이 될 확률은 다음과 같이 쓸 수 있다. 



만약 확률 밀도 함수가 존재한다면 첫번째의 경우는 다음과 같이 구할 수 있다. 



두번째의 경우 확률 밀도 함수는 반드시 두개의 변수가 존재해야 하며 

확률은 다음과 같이 구할 수 있다.



좀더 일반적으로 다음과 같이 쓸 수가 있다. 


(1) X와 Y가 불연속적인 확률 변수라고 가정해보자. 

이 때 결합 확률 함수(joint probability function 혹은 joint probability mass function 또는 간단히 줄여서 joint pms)는 

다음과 같이 쓸 수 있다. 



(2) X와 Y가 연속적인 확률 변수라고 가정해보자. 

이 때 결합 확률 밀도 함수(joint probability density function 줄여서 joint pdf)는 

다음과 같이 쓸 수 있다. 



결합 확률을 구하는 예를 들어보자.


어떤 주머니에 빨간색 공 5개, 노란색 공 8개, 파란색 공 7개가 담겨져 있다. 주머니에서 무작위로 10개의 공을 꺼내는 실험을 수행하려고 한다. 이 때,  확률 변수 X를 다음과 같이 정의하자.


X = 뽑힌 공 중에 빨간색 공의 갯수

Y = 뽑힌 공 중에 노란색 공의 갯수


결합 확률 함수 P(X,Y)를 구하여라.


총 20개의 공 중에 10개를 꺼내는 경우의 수는 다음과 같이 구할 수 있다.



빨간색 5개 중에 x개의 빨간색이 뽑히는 경우의 수는 다음과 같이 쓸 수 있다. 



마찬가지로 8개의 노란색 공 중에 y개의 노란색 공이 뽑히는 경우의 수는 다음과 같이 쓸 수 있다. 



빨간색이 x개 노란색이 y개 뽑힌 후에 남은 공이 파란색이 되는 경우의 수는 다음과 같다.



따라서,



2. Marginal pmf 또는 marginal pdf


결합 확률 분포 함수가 주어진 상태에서 오직 한가지 확률 변수의 확률 분포만을 알고 싶은 경우가 있다.

가령 두 개의 확률 변수 X,Y에 대하여 결합 확률 함수 혹은 결합 확률 밀도 함수가 

다음과 같이 주어져있다고 가정해보자.



이러한 확률 밀도 함수로부터 알고 싶은 정보가 만약 X 하나라면, Y에 대한 정보는 필요없게 된다.

이 때 수행하는 것이 marginalization이다.


방법은 다음과 같다.



따라서 결합 확률 밀도 함수로부터 한가지 확률 변수에 대한 정보만 알고 싶다면 

marginal pmf 또는 marginal pdf를 사용하면 된다.



다음 예제를 통해 marginal pdf에 대한 의미를 파악해보도록 하자.


확률 변수 X와 Y에 대한 결홉 확률 함수가 다음고 같이 주어져있다고 가정해보자.


 y
 x-2  1 4Sum 
 -10.2  0.1 0.0 0.2 0.5
 3 0.1 0.2 0.1 0.0 0.4
 5 0.1 0.0 0.0 0.0 0.1
 Sum 0.4 0.3 0.1 0.2 1.0


X와 Y에 대한 marginal probability를 구하면


x에 대한 marginal probability는 위 식에서 다음에 해당한다.


 y
 x-2  1 4Sum 
 -10.2  0.1 0.0 0.2 0.5
 3 0.1 0.2 0.1 0.0 0.4
 5 0.1 0.0 0.0 0.0 0.1
 Sum 0.4 0.3 0.1 0.2 1.0


같은 표에서 y에 대한 marginal probability는 다음에 해당한다.


 y
 x-2  1 4Sum 
 -10.2  0.1 0.0 0.2 0.5
 3 0.1 0.2 0.1 0.0 0.4
 5 0.1 0.0 0.0 0.0 0.1
 Sum 0.4 0.3 0.1 0.2 1.0


3. 조건부 확률 분포


두개의 확률 변수 X, Y에 대하여 조건부 확률 분포는 다음과 같이 쓸 수 있다. 



만약 두 확률 변수가 서로 독립이라면 결합 밀도 함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.



예제를 통해 실제 문제에 어떻게 적용되는지 알아보자.


확률 변수 X와 Y에 대하여 결합 확률 밀도 함수가 다음과 같이 주어져있다.



이 때, 다음을 구하여라.




1) marginal pdf for y



2) f(x|y)



3) f(x|y=1/2)



4) E(X|Y=1/2)




맨위로

https://blog.daum.net/gongdjn/57

신고하기